フーリエ級数展開とかいう非常にややこしいものが出てきた。
使い道ですが、正弦波以外の波を正弦波の足し算に分解すると。
例えば、振幅A、周期Tの方形波であれば、
(4A/π)( sin ωt +(sin 3ωt)/3 + (sin 5ωt)/5 + (sin 7ωt)/7 + …)
のように正弦波の和で表せるんですね。
なおωはω=2π/T、正弦波交流の周期と角周波数の関係と同じように定めたものですね。
これのグラフをFunctionViewを使って描いてみればいいですね。
(4a/π)(sin(ωx)+sin(3ωx)/3+sin(5ωx)/5+sin(7ωx)/7+sin(9ωx)/9+sin(11ωx)/11+sin(13ωx)/13+sin(15ωx)/15+sin(17ωx)/17+sin(19ωx)/19)
まぁ第十九調波ぐらいまで描いてみればいいんじゃないの。
適当にaとωを定めると見えます。
なんか嘘っぽいですけど、これを無限に描けば、本当に方形波になるはずです。
さて、これは何のことかという話なのだが、
どうもどんな周期関数でも三角関数の和で表せるとフーリエさんが言ったらしい。
それで、実は求め方があるんですよ。
周期Tの周期関数f(t)について、
a0=(1/T)∫f(t)dt , an=(2/T)∫f(t)cos(nωt)dt , bn=(2/T)∫f(t)sin(nωt)dt
∫と書いたが、-T/2からT/2までとか1周期だけ定積分をしてくださいね。
この3つの積分ができれば、あとはf(t)=a0+a1sin(ωt)+b1cos(ωt)+a2sin(2ωt)+b2cos(2ωt)+…と書けば完成。
さっきの方形波は計算するとa0=0 , an=0 , bn=(2A/πn)(1 – cos(πn) )とでてきたと。
むちゃくちゃめんどくさいですよ。
1 – cos(πn)というのはnが偶数ならば1-1で0、奇数ならば1-(-1)で2となるから、
奇数の場合のみbn=(4A/πn)になると書くこともできる。
なのでさっきの式になったわけ。
なんでこんなわけのわからない計算をするのかといえば、
f(t)が三角関数の和で表せたならば、
cos(nωt)をかけて1周期積分するとcos(nωt)成分以外は0になってしまうのよね。
f(t)の中にancos(nωt)という項があれば、
∫f(t)cos(nωt)dtと一周期積分することは、∫ancos2(nωt)とすることと一緒だと。
sin(nωt)をかけて1周期積分することも同様。
わけのわからない公式だが、案外簡単な仕組みでできてるんですね。
本当に三角関数というやつはよくできてますね。
しかし本当に積分は大変です。
三角波のフーリエ級数展開を計算してたんですね。
まぁめんどくさいですね。部分積分しないといけないし。
しかし、奇関数であるという性質を使えばa0とanは0になるんですけどね。
積分の公式ですよ。それでもbnの計算はかなりめんどくさい。
まぁそれでも計算できそうなだけましかも知れない。
積分というのはできないのが当然とかいう恐ろしいものです。
実際はできるものしか数学の問題にはならないけど、
変形に変形を繰り返してやっと解けるというものも多いです。
どうすればいいか、見当が付けばいいんですけど、見当が付かないと無理ですからね。
もっとも全く見当が付かないものは数学の問題にしても解けませんけど。
いろいろと定石というのがありまして、見当がついてしまうことが多いけどね。
まぁそんなに難しい問題は出さないそうだけど、うまく積分できないとなぁと思ったものです。