日記帳だ! with Tux on Libserver

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さて、それで記事を読んでいたのだが、興味深い記事があった。

PSPの充電装置を作ったというお話。
6[V]の電池で、5[V]を得る方法ということです。
まぁ普通に考えれば、三端子レギュレーター使うわな。
この例でも確かに三端子レギュレーターを使ってるようだった。
これは、出力電圧を5[V]とかにするように調整してくれるICだったはず。
非常に熱が発生するという評判なので、確認して必要なら放熱フィンを付けろと書いてある。
計算式は載ってるから、電流がどれぐらい流れるか考えて計算すればよさそう。
多分6[V]から5[V]に下げる程度なら、そこまで極端に熱は出さないんだろうと思うけど。電圧の差の分が熱になるらしいので。
ところで、この三端子レギュレーターというのはIN・GND・OUTの三端子があるからそんな名前。
まぁ大体予想通りで、INを入力電圧、GNDをグランド、OUTを使うところにつなげばいい。
けど、IN・OUTのところにGNDに並列に0.1[μF]とか小さいコンデンサを取り付けてあげないといけない。
どうもこれを付けないと調子が悪いらしい。おまじないと言われてしまうけど、大切なものらしいです。
で、どうも説明書きを見ると、これだけでも結構よさそうなことを書いてある。

まぁしかし、実際はこれ以外に、電解コンデンサを付けた方が良さそう。
入力側が不安定なら、入力側に取り付ける。なんだけど、これって必要なのかな?
そもそも安定な電圧を取り出すための三端子レギュレーターなんだから。
極端に不安定な入力電圧なら必要っぽい。
で、出力側は取り付けた方がいいらしいね。
融通のために必要だと言うこと。なるほど、それは重要。
容量は決め方は結構難しいみたい。
まぁだけど、小さな回路だったら100[μF]ぐらい取り付けておけばOKみたい。
コンデンサは大切だけど、なかなかわかりにくいですよね。
抵抗みたいに電流の制限に使うものでもないし…

まぁしかし、コンデンサはおまじないだと割切れば非常に簡単に回路が作れますね。
いや、それは悪い態度だと言うかもしれないけど。
しかし、PSPの充電に使う回路ねぇ。
実際の充電はPSPの電源コネクタのところにつないでやるらしいけど。
そりゃそうか…直接バッテリーに充電するのは楽じゃない。
件の回路図では、入力側にも出力側にも1000[μF]も取り付けてた。
ちょっと大きいのかと思ったけど、電流がたくさん流れるなら有用なのかな。
けど入力側はこんなにいらない気がするのだが…
しかしあんまり容量が大きくなると、出力電圧が入力電圧よりも高くなることがあるらしい。
その対策のためにダイオードをつないで、電流を逃がすようにしてレギュレーターを保護することがあるらしい。
最近は、電池をギリギリまで利用できるように、入力電圧と出力電圧の差の限界の小さいのが多いらしい。
まぁそんな加減もあるのかもしれない。備えあれば憂い無しとはこのことかもしれない。

このとらえ方は正しいか言い切れないけど、
積分というのは微分すればそれになるものを見つけるところから始まる。
∫2x dx=x²+C
という不定積分は、x²を微分すれば2xになるというところから出てきてるはず。
しかし、役に立つ微分公式は多いけど、微分公式を逆に使って積分するのは簡単ではない。
置換微分は非常に有益で、これはかなりの場合で使える。
けど置換積分は役に立たないことが多い。工夫しないと役に立たないのよね。

積分なんてのは結構使うところは多い。
例えばコンデンサの蓄えるエネルギを計算するときとか。
(1/2)CV²はあまりに有名な式だけど、積分でこの公式を出せるんだよね。
その電磁気で、電界の大きさを求めるのに積分を使うことがあると。
例えば、R[m]の円盤状の導体を帯電させたと。そこの中心からh[m]だけ上の点の電界の大きさを知りたいと。
もしも、これが非常に広い円盤ならば、ガウスの定理を使えば簡単に求める。
1[m²]あたり、σ[C]帯電してるなら、σ/ε₀[V/m]、高さなんて関係ない。
まぁそれはそれでいいと思うんだ。
高さが大きさに比べて十分小さいなら、きっと問題ないんだと思う。
だから、しょうがないので、円盤を細切れにして、それぞれを点電荷と思ってひたすら足し算すると。
電荷を細切れにして、足し算する、これが積分と。そういうことです。
しかし、あまりにめんどくさい。
だから、細かい事言わないならこんなのは使いたくないというのが本音かもしれないね。

そのまま円盤の話をしてもよかったのだけど、円盤の積分はそこまで極端じゃないのでパス。
まぁしかしそれもすごくめんどくさい。正直言うとめんどくさい。
さらにその上を行く話。
導体棒がありましたと。全部で2a[m]、1[m]あたりλ[C]帯電してて、ちょうど中心から、r[m]離れた点の電界の大きさを求めろと。
左にx[m]行ったところから非常に小さいdx[m]だけ注目して、それを点電荷と思って電界の大きさを求めると、
λdx/{4πε₀(x² + r²) }
√に入ってるのは、その点電荷と思ってる場所と電界の大きさを求めたい場所の距離を三平方の定理を使って書いたと。
ところが、この電界というのは斜めむきで都合が悪い。
そこで右にx[m]行ったところについても考えて、左右でベクトルの足し算をする。
図で考えると、左右足して、
2λdx/{4πε₀(x² + r²) } × r/√(x² + r²)=λr dx/{2πε₀(x² + r²)^3/2 }
なんか困った式になってしまった。
こんな式の積分公式なんてのは一見ない。
でも実は電磁気の教科書の積分公式集には載っていた。
x=r tan tで置換積分すると、なんでtanなのかはよくわからないけどうまくいく。
さて、これを不定積分したものはというと
∫λr dx/{2πε₀(x² + r²)^3/2 }=(λr/2πε₀)∫(r² + r² tan²t)^-3/2(dx/dt)dt
さて、ここでtan²t=1/cos²t – 1だと、
=(λr/2πε₀)∫r^-3(1 + 1/cos²t – 1)^-3/2(r/cos²t)dt=(λ/2πε₀r)∫cos t dt=(λ/2πε₀r)sin t+C
おおっ、すばらしい。
これに値をあてはめて、x=0からaまで積分すればいい。けどtの式なので、x=r tan tにあてはめてtを求めなくては。
t=0からtan^-1(a/r)まで積分すればいいと。
ところで、t=tan^-1(a/r)のとき、図を書くとよくわかるけど、sin t=a/√(a² + r²)、cos t=r/√(a² + r²)
というわけで非常にまわりみちをしたけど、求めたかった電界の大きさは
λa/2πε₀r√(a² + r²)
で合ってると思うよ。

まぁしかし、こんなところで積分を書いたところで実際にやろうって人はいないでしょうね。
それにしても回りくどいし、わかりにくい。
しかし、実際のところを言うと、式を立てたら、あと計算方法はどうでもいいといえばどうでもいい。
コンピュータで解かせても、まぁ話にはなる。
まぁしかし、式を書いて終わりというのも寂しいから計算してみましょう。
そうは言うけど、結構な地獄だったりする。なんとも難しい話です。
まぁしかし、この式が出てきたら、tanを使って置換積分すればできるらしいというのはわかったので、
運がよければできるかもしれないね。
そんな風に覚えておくのも悪くないかな。
もしくはこの積分公式を覚えておくとかね。まぁ間違うと怖いけど。

最近、マクローリン展開なんてもんを数学でやっている。実例を書けば、
e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+x⁴/4!+x⁵/5! …
階乗なんてものが出てきてるので、非常にわかりにくいけど、
こんな風に計算すれば、簡単にe^xが計算できると。すばらしいですね。
電卓で、べき乗の計算をするときには使ってるに違いない。
a^x=1+log_ea x+(log_ea)²x²/2!+ …
多分これで求まる。a=10,x=0.3010で計算したらだいたい2になったからあってるはず。
べき乗の計算なんて、ループ回して何度も掛ければいいなんてのは間違った認識で、整数乗以外もあるからね。

電卓内部ではこの計算をしていると。
もっとも精度よく計算するために桁数は多めに取ってるけど、
それを後で四捨五入なりしてるわけだ。
sin x、cos xもこんな風に出すことができて、
sin x = x-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+x⁹/9! …
cos x = 1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+x⁸/8! …
これは有名ですよね。電卓ではこれをやってるんだね。
ところで、これにはどんなxを入れても出てくるのでありがたいわな。
きっと電卓の設計をする人も楽に違いない。けどそんなのばかりではない。
log_e(1+x)=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+x⁵/5 …
この式は-1それ以上はうまく計算できない。しかしx<-1になると、logの中身がマイナスになるから無理なのはわかるけど、
現実にはx>1だろうが値があるはず。どうやって求めるんだろうね。
僕が考えたのは、たとえばlog_e10なら、10をeで何度か割る。2回割ると1.353ぐらいになる。
log_e10=log_e(1.353×e²)=log_e(1+0.353)+2
と、求められるようになったように見える。
すると、0.303+2=2.3026となって、きちんと求められた。
まぁもっと頭のいい求め方はあるのかもしれないけど、求まるかどうかというと求まったな。

πも、tan^-1xのマクローリン展開を作って、x=1を代入すると、
π/4が出せるので、そんな方法でもπは出せるらしいです。
一番ポピュラーなのは√(1-x²)を0から1まで積分すると、半径1、中心角90度の扇形の面積を求めて、
それがπ/4であることを利用する方法とかね。それに似たようなことはやったことあるね。
まぁそれにしても、電卓はとんでもないことをやってるというのがよくわかりますね。
我々が、電卓なしでその値を知りたければ、図書館に行って、三角関数表や対数表を見て調べることになるでしょうね。
しかし電卓はそれを1秒以内で計算してしまう。図書館に行こうとして席を立つ前に終わる。
こんな式を出されたところで、手計算でやるのは絶望的だからね。
本当にコンピュータはありがたいものですね。

今日の実験は三相電力の測定。非常にやっかいな話。
ところで、電力というと、直流なら、P=EI (E:電圧,I:電流)で求まることは結構有名ですね。
電力は1秒あたりの仕事のことだから、仕事率でもあるわけだ。
ところが交流では都合が悪い。
コイルもコンデンサも電圧がかかると電流が流れるけど、これをよく調べると充電と放電を繰り返してるだけらしい。
ということは電力は0。一方、抵抗については今まで通り。
で、結論から言うと、P=EI cosφ(φ:電流と電圧の位相差)で求まるわけ。
しかし、電圧と電流のかけ算ではないのでちょっと都合が悪い。
そこでこの位相差を含めて計算してくれる電力計というのがあるわけだ。ありがたい話だ。
(複素数のドットは省略してあります。大きさなら大きさと書くだろうから基本的にはドットがあると思っていい)

この電力計とはどういうものかというと、こんな風に使う。

左の回路が基本的な使い方。電力計というやつは電流計と電圧計を兼ねてるわけだ。
こんな風に電流を測るコイルと、電圧を測るコイルに適当につないであげないといけない。
接続例というのが電力計に書いてあるのだけど、これを見ると、このようにつなげばいいよと書いてある。
ところで、三相交流というのは単相交流を三本束ねたもの。
それぞれの位相差は2π/3[rad]あって、モーターを動かすのにもってこい。
なんで交流には正弦波を使うのかというのの1つの答えは、発電機・モーターの都合というのがあるはず。
右の回路を見て欲しい。電源のところに、E∠2π/3などと書いてあるが、E e^j2π/3のこと。
E(起電力)とe(自然対数の底)、なにげに紛らわしいな。
それはともかく、複素数で計算するよということです。
どの負荷も大きさは同じです。それぞれのRとCを並列につないだところを流れる電流の大きさは全部同じ、
すなわちI₁₂、I₂₃、I₃₁の電流の大きさは同じと。これをIとおくと、
1箇所あたり、電力はEIcosφだから、全部で3EIcosφの消費電力があるはず。

ここで電圧を計るときどうするのかというと、こんな風に2つの電力計を置く。
三相電力計というものもあるが、実は単相電力計2つをくっつけて足し算してくれるメーターを付けただけ。
で、この2つの電力計の指す値を足せばいい。
これはブロンデルの定理で説明されている。
実はこんな風に、どこも流れる電流が同じじゃないときでも通用するわけで、万能ですね。
とりあえず計算するか。
I₁₂=I∠(2π/3+φ)、I₂₃=I∠(4π/3+φ)、I₃₁=I∠φとおく。
まぁこんな風に電流同士も2π/3づつずれるわけですね。
これは負荷がどれも一緒だからですよ。そうそう、こういう負荷を平衡三相負荷と言うんだと。
さて、ここで、I₁=I₁₂-I₃₁=I∠(2π/3+φ)-I∠φ=Ie^j2π/3e^jφ-Ie^jφ
=Ie^jφ(e^j2π/3-1)=Ie^jφI{cos(2π/3)+j sin(2π/3)-1)=I(-3/2+j√3/2)=I√3∠5π/6+φ
なんか指数関数と行き来してるけど、とりあえず、こんな式が出てきました。
どうもI₁、I₂、I₃、いずれも電流の大きさはI√3、負荷を流れる電流の√3倍のようです。
さて、電力計ではどうなるか、P₁の指示を計算する、
電流はI√3∠5π/6+φ、電圧はE∠2π/3、これで計算すると、
P₁=EI√3 cos(5π/6+φ-2π/3)=EI√3 cos(π/6+φ)=EI√3{cos(π/6)cosφ-sin(π/6)sinφ}
で、反対のP₂を計算すると、電流はI√3∠-5π/6+φ、電圧はE∠4π/3
P₂=EI√3 cos(-5π/6+φ-4π/3)=EI√3 cos(-13π/6+φ)=EI√3{cos(-π/6)cosφ-sin(-π/6)sinφ}
13π/6って1周越えてるから、調整したよ。
それでP₁+P₂=EI√3{ (√3/2)cosφ-(1/2)sinφ+(√3/2)cosφ+(1/2)sinφ)=3EI cosφ
なんか騙されてるような気がするけど、結果は初めの方に言った通りですね。
ちなみに電流計はなぜか-を指すことがあるんだ。そんなときはスイッチを変えて符号を反転させて測定する。
それで-60[W]とか記録して、符号を考えて足し算すると。
それでOKらしい。しかし負の電力というのはなんなんだろうかね。

まぁ理屈は難しいけど、確かに単相電力計2個で計れるよというのは確か。
それにしても電力計というのが本当に電流計と電圧計をくっつけたようなつなぎ方するのには少し驚き。
そんな電力計と同じような動きをするもの、電力量計は多分どの家にもありますよね。
あれもそんな風になってるんだろうね。
こんなの気にしなくても、電球に明かりは灯るけどね。
それにしても三角関数だらけ…これは大変だ。