日記帳だ! with Tux on Libserver

半導体デバイスの実験をやっているのだが、
ここの検討課題でいろいろな計算をしなければならないようだ。
ただわからないことだらけなので勉強しなければならない分もありそうだ。
そこでの参考になればと友人が借りていた本を改めて僕が借りてみた。

いろいろ見ていたのだが、なかなか勉強になる。
そこで電気材料工学の授業では省略されたn形半導体・p形半導体のフェルミエネルギの導出のヒントが載ってた。
まぁそれそのものを見つけたわけではないのだが、これで求められるかなと思った。
それを使って計算してみると授業で出てきたのと同じ結果が出てきた。

バンド図というのを描いていろいろ考えるのだが、そのバンド図を見たとき、
価電子のあるエネルギバンドを価電子帯、その上、バンドギャップをはさんで上のエネルギバンドを伝導体という。
半導体とか絶縁体は価電子帯には電子が詰まっていて、伝導体には電子がないのが基本なのだが、
半導体というやつは価電子帯から伝導体に電子が登っていったり、その抜けた部分にホールというのができたりする。
これは温度によって変わるのだが、これを式であらわそうと言うことを授業でやっていたわけです。
いろいろ計算していくと伝導体にある電子の濃度は、伝導体の下のエネルギをE_cとおくと、
n=N_ce^{-(E_c-E_F)/kT} という式で表される。
Tは絶対温度、Tはボルツマン定数、E_Fがフェルミエネルギ、N_cは伝導体の有効状態密度というやつらしい。
このN_cの計算も授業でしたんだが、まぁ大概意味分からんかった。
それはともかくフェルミエネルギってのは考察でも使いそうな感じだったので計算しておきたかったなと。そういうことです。
価電子帯のホールの密度も同じように表せまして、
p=N_ve^{-(E_F-E_v)/kT} (E_vは価電子帯の上のエネルギ、N_vは価電子帯の有効状態密度)

この式をつかって授業では真性半導体のフェルミエネルギを求めた。
真性半導体では伝導電子とホールの密度が等しいから、
n/p=(N_c/N_v)e^{-(E_c-E_F-E_F+E_v)/kT}=1
として求める。n/pするとうまいこと求められるんです。
両辺log取ると、 log_e(N_c/N_v)+(-E_c+2E_F-E_v)/kT=0
E_F=(E_c+E_v)/2-(kT/2)log_e(N_c/N_v)=(E_c+E_v)/2+(kT/2)log_e(N_v/N_c)
となる。E_cとE_vの中間、というわけでもないらしい。あれ?そうだと聞いたんだがな。
ただ、(kT/2)log_e(N_v/N_c)というのはすごく小さそう。
だからほぼその中間と見ていいと思う。

問題はn形半導体だ。これはP(リン)などをちょっと混ぜて電子を多くした半導体のこと。
Pを入れるのにnとはいかにというのはあるが、nはnegativeのnだ。
ここでPなどのことをドナーというのだが、このドナーの密度をN_Dとおく。
これがイオン化すると自由電子が生まれるのだが、常温ではこれがほぼ全てイオン化している。
それ以外にも真性半導体同様に電子とホールが同時に出来る分もあるのだが、無視できるほど少ない。
というわけでn=N_Dとみてもいいことがわかる。
次にホールの密度pなのだが、これがどうにも分からなくて計算できなかった。
どうもnp=n_i² (n_i:真性キャリア密度) という関係があるそうだ。
真性キャリア密度というのは真性半導体での電子とホールの密度で、温度により変わるようだ。
300K(27℃)では1.6×10¹⁶[/m³]とあった。
ドナーの密度はこれよりよっぽど大きい10²⁰[/m³]とかもっと大きい世界。
この関係は常に成り立つそうだから、p=n_i²/n=n_i²/N_D となると。
これを使って真性半導体同様に計算してみる、
n/p=(N_c/N_v)e^{-(E_c+E_v-2E_F)/kT}=N_D/(n_i²/N_D)=(N_D/n_i)²
両辺log取ると、 log_e(N_c/N_v)+(-E_c+-E_v+2E_F)/kT=2log_e(N_D/n_i)
すると E_F=(E_c+E_v)/2+(kT/2)log_e(N_v/N_c)+kT log_e(N_D/n_i)
真性半導体のフェルミエネルギと比べると kT log_e(N_D/n_i) だけ上がることになる。
同様にp形半導体についても考える。
p形半導体というのはB(ホウ素)などを混ぜてホールを多くした半導体。pはpositiveのpね。
ここで入れた不純物はアクセプタという。この濃度をN_Aとおいて同様に計算すると、
真性半導体のフェルミエネルギと比べると kT log_e(N_A/n_i) だけ下がることになる。

これで、pn接合の拡散電位を求められるようになります。
p形半導体とn形半導体が結晶の中で接しているところのこと。
ここでは拡散という現象が起こって最終的にはバンドが曲がってp形とn形のフェルミエネルギが一致し段差ができる。
この段差を使ってダイオードというのは動いているんですね。
原理を勉強して、なるほどと思ったものだ。
この段差のエネルギ差というのは n形半導体が真性半導体より上がったフェルミエネルギ と p形半導体が真性半導体より下がったフェルミエネルギ の足し算になる。
バンド図を書いて考えてみるとたしかにそうなる。
というわけでこのエネルギ差は
kT log_e(N_D/n_i)+kT log_e(N_A/n_i)=kT log_e(N_AN_D/n_i²)
あとはこのエネルギ差は電子1個あたりのエネルギなので、電子1個の電気量qで割って電位差に直してみると、
(kT/q)log_e(N_AN_D/n_i²)
となる。これが知りたかったこと。

実際どんなもんなのかというのを考えてみる。
その本にはこういう問題があった。
300KでのN_D=1×10²²[/m³]、N_A=1×10²¹[/m³]のSiダイオードの拡散電位を求めよ。
300Kのシリコンで考えますと、n_i=1.6×10¹⁶[/m³]だそうだ。
なのであとボルツマン定数を調べて代入して計算しますと、拡散電位は 0.632[V] と求まった。
0.6[V]というとSiダイオードの順方向電圧降下の値に等しいですね。
実際そういうものらしく、ダイオードというのは拡散電位に近づくと急激に電流が流れるものらしい。
こういうのを実際に求めて確かめ
るというのはよいことですね。
なんかいろいろ納得いった気がする。

今日、Maximaという数学のソフトウエアの名前を知った。
調べてみると非常に強力なものだとわかった。

これは数式を計算するソフトウエア。
数式を計算するというところがすごいこと。
maximaをインストールしてコンソールを立ち上げてこう打つ。

1/2+1/3;

答えは5/6と出てくる。これだけならあまり驚くほどではないかな。ではこう打ってみよう。

sin(%pi/3);

%piはπ、%eはeなど数学の定数は定められているようだ。答えは sqrt(3)/2 えらいもんだ。

X:expand((x+1)*(x+2)*(x+3));
factor(X);

expandで展開できて、factorで因数分解できる。X:などすると変数に代入できる。
ちなみに関数はこんな風に定義する。

f(x):=x^2;

しかし、これがすごいのは微分積分ができることだろう。

diff(x^x,x);
integrate(log(x),x);

diffは微分、第2引数にxを与えてxで微分せよということを表している。integrateも同様。
ちなみに定積分もできて、第3・4引数に範囲を与えればいい。
積分できるとかすごいですね。ただ積分定数は省略されているので自分で補完してね。
さらに極限の計算も出来る。

limit((1+x)^(1/x),x,0);

これって%eの定義です。ちゃんと%eという答えが出てきます。
方程式も解ける。

solve(x^4-x^3+x^2-x=0,x);
solve([x+y=0,x*y=-4],[x,y]);

連立方程式だって解けちゃうんです。えらいもんです。
微分方程式も解けるんです。ただし2階までしかまともに解けませんが。

ode2('diff(y,x)-x*y=x^3,y,x);

‘diff(y,x)のように’をつけると dy/dx という状態で渡されると考えればいい。
xという変数のyという関数を求めるということが書いてある。
ところでこの微分方程式って手で解けるかな。自信なんてあったもんじゃない。

ベクトルも取り扱えるようです。

r:[cos(%w*t),sin(%w*t)];
v:diff(r,t);
r.v;

r.vってのはベクトルの内積のことね。
行列も扱えまして、こんな風に。

A:matrix([11,-4,-7],[7,-2,-5],[10,-4,-6]);
A^^-1
solve(determinant(A-ident(3)*l),l);

A^^-1で逆行列が得られる。determinantで行列式の計算ができる。

本当にいろんなことができますなぁ。これは検算に役立ちそうだ。
しかしこれってどうやって実現してるんだろ。
実は中身は人間がやってることに似てたりしてね。

ちょっと前にロピタルの定理が話題になったのですが、
そういえば証明したよなとおもって微分積分のノートを見るとちゃんとあった。

ロピタルの定理というのは極限の計算を簡単にするための定理です。
lim[x→0](1-cos x)/x² という極限の計算をしろとなったとき、
まず単に0を代入すると 0/0 となってうまく求められない。
0/0とか∞/∞ってなるのを不定形というのだがこういうのは厄介。
特にこの問題は厄介で僕には全く解き方の検討が付かなかった。
Twitterで聞けば(1+cos x)をかけると (sin² x)/x²(1+cos x) となって、
lim[x→0](sin x)/x=1なので求める極限は1/2となると求まるようだ。確かにそうですね。
ただこんなことに頭を使うのも結構大変な話。

そこでロピタルの定理というのが役に立つ。
f(x),g(x)がaの近くで連続で微分可能で lim[x→a]f(x)=lim[x→a]g(x)=0 となるとき、lim[x→a]f(x)/g(x)=lim[x→a]f'(x)/g'(x) となる
というもの。lim[x→a]f(x)=±∞,lim[x→a]g(x)=±∞ でも同様のことができる。
僕はこれを証明したのでこれは正しいと考えて使うことができますね。数学ってそんなのばっかり。
ただ、これは高校の教科書に載ってないことで有名な定理らしい。
そのため高校生はこれを証明していないと考えられるから大学の入学試験で使うと×にされるそうだ。
まぁ正しいことを書いてるわけだし、「0/0の不定形であるからロピタルの定理を用いて」など書けば問題ないと思うんだけど、
そういうもんでもなかったりするらしい。

過去に一度証明したとはいえ、証明しろと言われて証明できるかは結構怪しい。
というわけでここでまた証明してみよう。とノートを見てみた。
ロピタルの定理はコーシーの平均値の定理を応用したものなのでコーシーの平均値の定理があれば一発で終わる。
が、このコーシーの平均値の定理の証明が難しいことが高校で取り扱わない理由らしい。
このコーシーの平均値の定理の証明が怪しいのだが、ノートを見ればわかった。
その中でロルの定理という、まぁ取るに足らない定理を使っている。
だからまじめに証明すると三段階いるわけだ。まぁロルの定理とか証明しないといかんのかようわからんが。

ロルの定理というのは、
f(x)が区間[a,b]で連続で(a,b)で微分可能でf(a)=f(b)であるとき、f'(c)=0となるaというもの。まぁ当たり前なんですけどね。
(証明)

a. a常にf'(x)=0であるからab. axx>cで、 f'(c)=lim[x→c+0]{f(x)-f(c)}/(x-c) 分子は必ず負、分母は必ず正なので f'(c)≦0
すなわち f'(c)=0
c. a同様に証明すれば f'(c)=0 となる

(証明終)

極大とか極小というのは上がり下がりが逆転する、すなわち微分の符号が変わる点ということ。
それって微分が0になるところですね。というのはよく計算で使っていること。それをまじめに証明したということなんです。
だから多分これは証明しなくてよかったんじゃないかなと思わないこともないが、一応ね。

本題であるコーシーの平均値の定理ですね。これは、
f(x),g(x)が区間[a,b]で連続で(a,b)で微分可能であるとき {f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}=f'(c)/g'(c)となるaというものです。ただロルの定理の証明が出来たらそんなに難しくはない気がする。
(証明)

A={f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)} , F(x)=A{g(x)-g(a)}-{f(x)-f(a)} とおく。
F(a)=F(b)=0 であるのでロルの定理より F'(c)=0 となるaF'(x)=Ag'(x)-f'(x)なので、Ag'(c)-f'(c)=0、すなわち A=f'(c)/g'(c)

(証明終)

なんかだまされてる気がするけど証明できてますね。
これが何の役に立つんだという話ですが、もしaとbが非常に近ければ、cってのもaやbに非常に近い値を取るはずだと。
実はこれこそがロピタルの定理なんですよね。

ロピタルの定理は最初にも書いたが、
f(x),g(x)がaの近くで連続で微分可能で lim[x→a]f(x)=lim[x→a]g(x)=0 となるとき、lim[x→a]f(x)/g(x)=lim[x→a]f'(x)/g'(x) となる
lim[x→a]f(x)=±∞,lim[x→a]g(x)=±∞である場合も同様に成り立つ
というものです。まず0/0の場合を証明してみる。
(証明)

コーシーの平均値の定理より {f(x)-f(a)}/{g(x)-g(a)}=f'(c)/g'(c) となるaf(a)=0,g(a)=0で、x→aとしたときcはaに近づくので、 lim[x→a]f(x)/g(x)=lim[c→a]f'(c)/g'(c)

あとは∞/∞だが、逆数を取れば0に近づくからこれを使えば求まりますね。

B=lim[x→a]f(x)/g(x)=lim[x→a]{1/g(x)}/{1/f(x)}
lim[x→a]1/g(x)=0、lim[x→a]1/f(x)=0 であるから前の証明結果を用いて、
B=lim[x→a]{1/g(x)}’/{1/f(x)}’=lim[x→a] [-g'(x)/{g(x)}² ]/[-f'(x)/{f(x)}² ]=lim[x→a] {g'(x)/f'(x)}{f(x)/g(x)}²=B² lim[x→a] {g'(x)/f'(x)}
よって、B=1/lim[x→a] {g'(x)/f'(x)} =lim[x→a]f'(x)/g'(x)

(証明終)

ここは授業でも証明してないのだが、ノートの端っこで確かに成り立つなぁと納得した覚えがある。
とにかくこれでロピタルの定理は証明できたことになる。

一次関数と分数の微分ができて、極限をわかってる人ならこの証明はたやすくできるはず。
だからロピタルの定理そのまま使ったらやばいと思ったらこれを解答用紙の裏に証明すればいいと。
そこまでできれば文句をいうやつはいないだろう。
過剰防衛かもしれないけど、証明できて一人前だとも言えるのでいいかもしれない。
まぁそんなこというと他の定理とか微分公式やら何でもかんでも証明しろとなるのかもしれんけど。
log_e xを定義に基づいて微分せよとか言われたらちょっと困る。まぁできるのはできるけど。
その辺の区分があいまいではないかなと僕は思うのだけどね。
実のところどうなんだろうかね。