電磁気というのは結構有用なことが多いのは自明だけど、なかなか難儀なもんです。
最近電気機器の授業で、直流機ってのは…って話が出てきて、ちょっと役に立つ気がしてきたりもする。
けど今やってるのは、電界。まだまだ電界。
多くの部分で、電界の話は磁界でも通用するというのが理由らしい。だから電界でいろいろやってるわけだな。
まぁ確かにそれは一理ある。コンデンサの方がなんか実感沸きやすいきがするし。
物理の一分野を特に切り取ってやっているので、意外な話が出てきたりすることがある。
今日はまさにそんなこと。
だって、急に熱力学の第一法則が出てきたんだから。
けど、熱力学の第一法則と堅苦しい名前で言うとなかなかわからないけど、エネルギー保存の法則のことです。
ΔU=Q+W
という式で書ける。ΔUは内部エネルギーの変化。Qは外から与えた熱量、Wは外から与えた仕事。
これを使って、物理の授業ではピストンがどうなるとか言ってたな。
随分忘れてしまった。けど、今回これはあまり重要ではない。
さて、何をやりたかったのかという話をする。
コンデンサに適当に電荷をチャージしておく。すると極板間は引き合う力を持っているはず。
これを計算するためには結構な手間が必要。なので楽にやる方法を考えたらしい。
その名も仮想変位法。
コンデンサの力が外向きにF[N]で、dx[m]外に向けて仕事をしたとまず考える。
コンデンサの極板が動き出したら、それはおかしいけど突っ込んではいけない。
おかしな点ばっかりだが、仮想だから問題なし。
さて、両端にV[V]の電圧がかかってる、極板面積S[m2]、間隔x[m]の平行平板コンデンサを考える。
静電容量はC=εS/x[F]だ。まぁこんなのは覚えてることになってるな。
ちなみにεの単位は[F/m]。この式をみると納得いきますねぇ。
ガウスの法則と積分つかって求めてもいいけど、それでも慣れてれば拍子抜けするぐらい簡単。
さて、ここで、内部エネルギは、U=(1/2)CV2[J]と。
ここからが本題だ。
コンデンサの大きさがdx[m]外に大きくなると、静電容量がdC[F]増えて、内部エネルギが増える。
エネルギー保存の法則のΔUのところには(1/2)V2dCと書いておこう。
静電容量が変化すると、電流が流れて電池がエネルギを補給してくれるでしょう。
dC[F]変化すると、VdC[C]だけ電荷を補給してくれる。それで1[C]あたりV[J]のエネルギがあるんだから、V2dC[J]補給してくれたと。
外から与えられたということで、QのところにV2dCと書いておこう。
外向きにF[N]で、dx[m]外に向けて仕事をしたということは、コンデンサはFdx[J]の仕事をしたということだ。
しかしこれは逆に考えると、外は-Fdx[J]の仕事をコンデンサにしたということだ。
というわけで、Wのところに-Fdxと書いておこう。
それで (1/2)V2dC=V2dC-Fdx という式が出るので整理。
すると、 F=(1/2)V2dC/dx となる。どうも微分すれば、外向きの力の大きさがわかりそうです。
それで、さっきのCをxで微分すると、 dC/dx=-εS/x2 となるので、
F=-εSV2/2x2[N] となりました。
外向きの負の力ということは、内向きに力がかかってるらしい。
だから答えは、内向きにεSV2/2x2[N]という。
それにしてもこれでいいのかというのはあるわな。
なぜに微分と言いたくなるけど、別に微分ぐらいしてもいいかと思ってやるとそれなりの値が出る。
で、別の方法で求めても答えは同じ。だから正解ですよ。
しかし、エネルギとはねぇ…意外なアプローチだった。
どうも調べてたら、コイルの縮むエネルギも同様の方法で求められるらしい。
一体誰が考えたか知らんけど、相当狂った方法だな。
けど便利なのは確かだ。なかなかおもしろいことしますね。