画像工学の宿題で楕円と円を判断する必要があって性質を調べていたことがある。
まぁ円も楕円なんだけど、分けろと言われたら分けないといけない。
そもそも楕円の性質だが、まず面積は長軸をa,短軸をbとするとπabで表すことが出来る。
なので面積を使って判別するのが無難かなと思う。
楕円を正方形に収めて、円なら一辺の長さをdとすると面積はπ(d/2)2になる。これよりも面積が小さければ楕円だろう。
ところが今回ターゲットとしていたのは輪郭、なので面積を求めるのはじゃまくさかった。
それで周長はどうなるんだろうと思って調べた。
円なら半径rの円の周は2πrとなる。
じゃあ楕円は? と言われると簡単には求まらないというのが答えになる。
離心率 e=√(1-(b/a)2)を用いて表すと、 l=4a∫[0,π/2]√(1-e2sin2t)dt という積分で求めることが出来る。
この積分部分が問題で、これは普通の式で表すことができないことが知られている。
こういうグループの積分を楕円積分と呼んでいて、特に今回求めたい∫[0,π/2]√(1-e2sin2t)dt を第二種楕円積分と呼ぶ。
これを E(e) と表せば l=4E(e)a と表すことが出来る。
これの具体的な数字はどうか。それは求めることができる。
さて、離心率は円では0なので打ち込んでみると1.57と出てくる。
円周の式と比べればわかるけど 2E(0)=π となる。確かにそうなってますね。
e=0.5のときは1.47、e=0.8のときは1.28という風になっている。
そしてe=0のときは1となってしまう。
こうして楕円の周を求めることはできるようである。
まぁともかく円は長軸の長さの2π倍となるはずだから、それよりも周が短いものは楕円だとすればよさそうである。
そうしたらうまく判別できたのでこれはこれでいいかなと思った。
しかしまぁ楕円の面積は確かに求めたけど周は求めたことなかったよな。
授業でもスルーしてた印象があるけど、そりゃまともに求まらないんだからネタにしてもしゃあないというのはあったのだろう。
けどそれは円も一緒か。だいたい周が直径の3倍になっていて詳しく言うと3.14倍ぐらいということで取り上げられたけど、
やはりそれは円の周やら面積を知ることはかなり大切な事だからということで授業で取り上げてたんだろうな。
まぁ実際円周率はよく使いますからね。そう考えると偉大なもんだ。
けど楕円の周なんてまぁ求めんわな。ずいぶん扱いが違うが現実はそんなもんだということか。