日記帳だ! with Tux on Libserver

二度目の大改造!! 日記帳…か?を継承し、より柔軟でパワフルなBlogに変身しました。

RSSに対応しています。リンク・コメント・トラックバックは自由にしていただいてほぼ問題ありません。
RSS購読方法、僕のリンク・コメント・トラックバックについての考えを読むことをおすすめします。

むちゃくちゃ大きな数の階乗

専攻科の選択科目で統計力学を受けている。

数学・物理系の科目で5科目中3科目選ぶことになってて、その1つとして選んだもの。

確率とかを駆使して大量の粒子のある系を考えようという話ですね。


とにかくむちゃくちゃな話をしていて、1023個のぐらいのランダムに飛んでいる粒子が右と左は何個ずつあるだろうか考える話から始まった。

2つの粒子が2つとも右・2つとも左にある確率は1/4で右と左に1つずつある確率は1/2だとか、

そういうことは数学の授業でもやったような話だが、これが1023個ぐらいともなればとんでもない話だ。

それをまじめに確率のことで考えようと言うんだからとんでもない話だ。

それで、粒子が全部でN個で左にn個ある確率というのは NCn に比例するねとなった。二項定理な。

NCn =N!/(N-n)!n! と表すことができることは知っているので、これに入れれば電卓ででも計算できますね。


とはいうけど、1023! とか果たしてなんやねんと。

そもそも階乗は増加のスピードがむちゃくちゃ速いことで有名。

5!=120に対して、10!=3628800 だ、!の中身が2倍になっただけで3万倍だ。

それがちゃんと求められるかという話だが、実は求める方法はある。


それがスターリングの公式ってやつですね。

n!=√(2πn)nne-n となるらしい。(1023)1023とかあまりにひどいな。

実際にはこれをlogを取った、log(n!)=n(log(n)-1)+(1/2)log(2πn) (logの底はe) を使っていろいろ計算した。

その結果、さっきの確率はむちゃくちゃ尖ったガウス分布になっていて、ほとんど1/2ずつにしか分かれないという結論になった。

標準偏差が1012個ぐらいだったから、だいたいそれぐらいずれる。


log(n!)=Σ[k=1,n]log(k) を計算したら、このスターリングの公式が導けそうだ。

Σlog(k)=nΣ{log(k/n)+log(n)}(1/n)=n(log(n)+Σlog(k/n)(1/n))

ここでn→∞のことを考えると x=k/n,dx=1/nで置き換えて Σ[k=1,n]log(k/n)(1/n)=∫[0,1]log(x)dxとなる。

これを計算すると-1になるから、log(n!)=n(log(n)-1) とさっきのスターリングの公式から√(2πn)が消えたような結果が出てきた。

どっかに消えてしまったが、おおざっぱに言えばこれでもいい。さらにおおざっぱに言えばnlog(n)でいい。

というかその統計力学の授業ではそれで計算してたし。


なんでこんなことしてたのかというとアンサイクロペディアでアホみたいな問題を見つけたから。

ファイル:Tit-88-5.jpg (アンサイクロペディア)

東京工業大学の学部の入学試験の二次試験の数学の問題らしいが、なんというかひどい問題だ。

これを階乗に置き換えて、logを取ってやって、n!=nlog(n)で置き換えると、

{log(3n!)-log(2n!)-log(n!)-log(2n!)+log(n!)+log(n!)}/n={log(3n!)+log(n!)-2log(2n!)}/n

={3n log(3n)+n log(n)-4n log(2n)}/n=3log(3)+3log(n)+log(n)-4log(2)-4log(n)=log(33/24)

だから、この問題の答えは 33/24=1.6875 となる。

これが正しいか確かめるのも難しいがn=10のときはGoogleによれば1.66となるらしいからだいたい正しそう。

スターリングの公式を知らなくても求められそうな気もするけど、まぁ無茶ですね。他にやり方があるかは知らないけど。


Author : hidemaro
Date : 2011/06/14(Tue) 23:40
電気・数学・物理 | Comment | trackback (0)

Tools