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宇宙を作ってる4つの式の1つと対峙する話

今日は電磁気の試験でしたと。
まぁその電磁気の前にこれも電磁気をやってた物理の試験があって冗長ですよね。
と言いたいけどそれはない!
物理の方の電磁気は磁気がメインでした。見えやすいからね。
ローレンツ力の向きどっちだっけとか迷いますけど、右手の法則は便利ですね。
フレミングの右手の法則は、右手の親指を速度、人差し指を磁束密度、とすると中指の向きに誘導起電力が発生。
ほらわかりやすい。左手の法則の方が有名ですけどね。
負電荷は電位の低い方に集まりたくなるはず。だから電子は中指の付け根の方に集まってくるよ。
というのはまぁいいんですよ。
今回の試験は、積分で電界を求めることと、ガウスの法則の微分形、ポアソン方程式。
一体何言ってるんだという話です。
まぁ1つ目の積分で電界を求めることは、例えば導体棒にある電荷を細切れにしてそれぞれの作る電界を足していくと。
これ積分。「最後の仕上げの積分が一番困る」の記事でその話は取り上げました。
何が言いたいかというと、仕組みは難しくないけど、計算は難しいかもねということです。
幸いなことに今回の試験ではこんな積分はしなくて済んでよかった。
次のガウスの法則の微分形だが、見るに堪えない式。
D
きれいな式ですねなんて言っちゃだめですよ。問題はなんです。
の中身ですが…見えないなら残念。
またMathMLです。Firefox・Opera以外のひとごめんなさい。
まぁこういうベクトルです。太字なのはそのためです。
いきなりガウスの法則の微分形を見ると大変なので、
電位の傾きは電界であるということを表した式、-V=Eを見るとわかりやすい。
ベクトルのスカラー倍はベクトルの中身全部にスカラーをかければいいと。
-Vですが…見えないなら残念。
にスカラーをかけることをgradという演算子で表すらしい。gradは勾配の意味。
∂は偏微分の記号で、ラウンドディーとかデルとか読むみたい。
∂V/∂xはVをx以外の変数も定数と思い込んでxで微分するということ。
多変数のときはdV/dxと書かずにこう書くと。
まぁこれで電界が求まるわけです。騙されてる気はするけどね。
さて、D=ρに戻ります。
なぜこうなるのかメモしようと思ったのだが、えらいことになったからやめる。
電束密度ベクトルのX成分のxでの微分と、Y成分のyでの微分、Z成分のzでの微分を足すと、電荷密度だと。
小さな箱があると考えて、大きさはΔx,Δy,Δzだと。
左の電束密度のX成分がD1xのとき、電束の本数はD1xΔyΔzだと。
入ってくるD1xと、出て行くD2xの差をΔDxと書くと、
左右方向の電束の変化は、ΔDxΔyΔz本。ところで電束はQ[C]の電荷からQ本でるものだと。
左右方向だけでΔDxΔyΔz[C]の電荷があるはず。これを三方向足し合わせたら全部だ。
ΔDxΔyΔz+ΔDyΔxΔz+ΔDzΔxΔy[C]あるはずだと。
しかしなんかΔだらけでうざいので、箱の体積のΔxΔyΔzで割って、電荷密度にする。
ところで電荷密度というと、線電荷密度(文字:λ)、面電荷密度(文字:σ)、体積電荷密度(文字:ρ)があるけど、体積電荷密度ね。
すれば、ΔDx/Δx+ΔDy/Δy+ΔDz/Δz=ρとなると。
これを偏微分で書くと…というのをを使ってすっきり見せたのがさっきの式。
Dですが…見えないなら残念。
何のことかわかるだろうか…内積は成分表示されてたら、X成分同士のかけ算、Y成分同士のかけ算、Z成分同士のかけ算の和になる。
それを利用して、あんなシンプルな式に書いたんだと。
迷惑すぎる…ごちゃごちゃしてるけどガウスの法則の積分形の方がよっぽどイメージしやすい。
あれは閉曲面を用意して、面を細切れにして、面に垂直な単位ベクトルと電束の内積を足し合わせると。
非常にわかりやすい。2年生の途中で出てきて、確かに一様な電界、閉曲面に直角に出るという条件付きだけど簡単にあつかえたし。
けどね、積分って微分の逆なのよね。だから積分形も微分形も意味は一緒なんだよ。これはひどい。
まぁこんなのを延々と授業でやってたわけです。
しかしこんな複雑な式が出てきたところで、この式はあまりにひどい。
僕もそうだし、近所の友人もそういうが、「かけるって1回微分するってことだよね」というぐらいのイメージだ。
人間が取り扱うときは、この機能をフルに使うようなことはしない。と思う。
今回の試験ではX方向だけ考えればいい問題ばっかりだった。
電位の勾配は電界というあれはX・Y・Z方向全部あったけど、あれはただの偏微分だ。
さて、電位の勾配は電界というのと、ガウスの法則の微分形を組み合わせてこういう式が作れる。
V=-Eだが、DEの関係があるので、
DE=-εV=ρ
なんじゃこりゃ。の内積って何だ。2回微分みたいな意味ですね。
これで、2V=-ρ/εと書けるのだが、
これをポアソンの方程式というと。
電位を2回偏微分するようなことをしたら、そこの電荷密度がわかるということですね。
ところで普通は空中には電荷はないですよね。
まぁどうも空中に電荷があることを考えるときに使う式らしいです。
このρ=0とした、2V=0をラプラスの方程式と言うらしい。
まぁしかし、きれいだけど実は腹黒い式というのがよくわかりましたね。
このガウスの法則の微分形は、電磁気を4つの式で表したというマクスウェル方程式の1つらしい。
確かにたった4つの式で表せると言ったのはすごいのだけど、
けどだらけでもう…
残りの3つの式のうち1つか2つは3年生のうちに会うかもでしょうとまぁ…
まぁこの式とばかり対面しててもなかなかわからんものです。
こんなだらけの世界を図で書いたものを授業で配布してくれた。
実はそこから、なんでD=ρやねんという説明をここに改めて書いたわけだけどね。
そう小さい箱。実は小さい箱の絵が描いてあったんですね。
「色は匂へど 散りぬるを 我が世誰ぞ 常ならむ 有為の奥山 今日越えて 浅き夢見じ 酔ひもせず」
というのは仏教の難しいことをわかりやすく説明したものならば、
その小さな箱の図は、ガウスの法則の微分形をわかりやすく説明したものなんだろうと。そう思えるかなとか。
Author : Hidemaro
Date : 2008/09/26(Fri) 22:28
電気・数学・物理 | Comment | trackback (0)

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