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最後の仕上げの積分が一番困る

このとらえ方は正しいか言い切れないけど、
積分というのは微分すればそれになるものを見つけるところから始まる。
∫2x dx=x2+C
という不定積分は、x2を微分すれば2xになるというところから出てきてるはず。
しかし、役に立つ微分公式は多いけど、微分公式を逆に使って積分するのは簡単ではない。
置換微分は非常に有益で、これはかなりの場合で使える。
けど置換積分は役に立たないことが多い。工夫しないと役に立たないのよね。
積分なんてのは結構使うところは多い。
例えばコンデンサの蓄えるエネルギを計算するときとか。
(1/2)CV2はあまりに有名な式だけど、積分でこの公式を出せるんだよね。
その電磁気で、電界の大きさを求めるのに積分を使うことがあると。
例えば、R[m]の円盤状の導体を帯電させたと。そこの中心からh[m]だけ上の点の電界の大きさを知りたいと。
もしも、これが非常に広い円盤ならば、ガウスの定理を使えば簡単に求める。
1[m2]あたり、σ[C]帯電してるなら、σ/ε0[V/m]、高さなんて関係ない。
まぁそれはそれでいいと思うんだ。
高さが大きさに比べて十分小さいなら、きっと問題ないんだと思う。
だから、しょうがないので、円盤を細切れにして、それぞれを点電荷と思ってひたすら足し算すると。
電荷を細切れにして、足し算する、これが積分と。そういうことです。
しかし、あまりにめんどくさい。
だから、細かい事言わないならこんなのは使いたくないというのが本音かもしれないね。
そのまま円盤の話をしてもよかったのだけど、円盤の積分はそこまで極端じゃないのでパス。
まぁしかしそれもすごくめんどくさい。正直言うとめんどくさい。
さらにその上を行く話。
導体棒がありましたと。全部で2a[m]、1[m]あたりλ[C]帯電してて、ちょうど中心から、r[m]離れた点の電界の大きさを求めろと。
左にx[m]行ったところから非常に小さいdx[m]だけ注目して、それを点電荷と思って電界の大きさを求めると、
λdx/{4πε0(x2 + r2) }
√に入ってるのは、その点電荷と思ってる場所と電界の大きさを求めたい場所の距離を三平方の定理を使って書いたと。
ところが、この電界というのは斜めむきで都合が悪い。
そこで右にx[m]行ったところについても考えて、左右でベクトルの足し算をする。
図で考えると、左右足して、
2λdx/{4πε0(x2 + r2) } × r/√(x2 + r2)=λr dx/{2πε0(x2 + r2)3/2 }
なんか困った式になってしまった。
こんな式の積分公式なんてのは一見ない。
でも実は電磁気の教科書の積分公式集には載っていた。
x=r tan tで置換積分すると、なんでtanなのかはよくわからないけどうまくいく。
さて、これを不定積分したものはというと
∫λr dx/{2πε0(x2 + r2)3/2 }=(λr/2πε0)∫(r2 + r2 tan2t)-3/2(dx/dt)dt
さて、ここでtan2t=1/cos2t - 1だと、
=(λr/2πε0)∫r-3(1 + 1/cos2t - 1)-3/2(r/cos2t)dt=(λ/2πε0r)∫cos t dt=(λ/2πε0r)sin t+C
おおっ、すばらしい。
これに値をあてはめて、x=0からaまで積分すればいい。けどtの式なので、x=r tan tにあてはめてtを求めなくては。
t=0からtan-1(a/r)まで積分すればいいと。
ところで、t=tan-1(a/r)のとき、図を書くとよくわかるけど、sin t=a/√(a2 + r2)、cos t=r/√(a2 + r2)
というわけで非常にまわりみちをしたけど、求めたかった電界の大きさは
λa/2πε0r√(a2 + r2)
で合ってると思うよ。
まぁしかし、こんなところで積分を書いたところで実際にやろうって人はいないでしょうね。
それにしても回りくどいし、わかりにくい。
しかし、実際のところを言うと、式を立てたら、あと計算方法はどうでもいいといえばどうでもいい。
コンピュータで解かせても、まぁ話にはなる。
まぁしかし、式を書いて終わりというのも寂しいから計算してみましょう。
そうは言うけど、結構な地獄だったりする。なんとも難しい話です。
まぁしかし、この式が出てきたら、tanを使って置換積分すればできるらしいというのはわかったので、
運がよければできるかもしれないね。
そんな風に覚えておくのも悪くないかな。
もしくはこの積分公式を覚えておくとかね。まぁ間違うと怖いけど。
Author : Hidemaro
Date : 2008/06/27(Fri) 23:58
電気・数学・物理 | Comment | trackback (0)

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