算数と数学の壁はうねうね
算数と数学の境目はどこにあるか、と言う質問は難しい。
どっちも結局英語で書けばMathematicsだから分けること自体おかしい気もするが考えてみる。
2×3って計算はあからさまに算数の取り扱う範囲だろう。
f(x)=x2+2x-8 の最小値を求めるという問題は多分数学の取り扱う範囲だろう。
じゃあ x2+2x-8=0 っていう方程式の答えを求めることはどうなのだろうか。
うーん、これは算数じゃないかなと僕は思った。
算数って常に数字が付きまとってくるものだと思っている。
だから小学校の算数の授業では文字式って出てこないですよね。昔はあったらしいけど。
ただ、さっきの二次方程式は文字が出てきているけどまだ数字からあまり離れていないなと僕は思う。
縦が横よりも2[cm]長い長方形の面積が8[cm2]であったとき、その横の長さを求めよ、というかなり具体的な問題を解きたいと思ったとする。
算数の問題って具体的な数字が入りますよね。
さて、求めようかとして出てくる式はさっきの二次方程式ですわ。
式をカリカリ整理して(x+4)(x-2)=0 という式にするとか、解の公式に投げ込むとかして2[cm]という答えが得られると。
文字式の整理は中学校の数学で初めてやるけど、小学校の算数でも式の変形とかしてたよね。
例えば38×3を(40-2)×3 として暗算してみたり。こういうのってやりますよね。
ただ、f(x)=x2+2x-8 ってのはかなり具体的な数字から離れているなと僕は思う。
xにはいろんな値を入れられますよね。そしたらいろいろ出てくる。
具体的な数字からかなり離れた世界にいると思う。
関数ってのが出てきたあたりから具体的な世界からどんどん離れていったのかなと今になって思っている。
この問題の解き方はいろいろあるけど、僕なら微分しますかな。
df(x)/dx=2x+2=0、だからx=-1で極値をとって、d2f(x)/dx2に1を代入すると0以上だからx=1では極小値を取ると。
そしたらf(-1)=-9 ってのが最小値だねってわかる。
微分ってのが具体的な数字からかなり離れた世界にあるなぁと思うんだ。
平方完成で解くにしても f(x)=(x+1)2-9 という風にしただけじゃ終わらないですよね。
xが実数ならどんなxでも (x+1)2≧0 となるって、具体的な数字から離れた世界ですよね。実にそうだと思う。
とはいえ、さっき二次方程式を解くのは算数だとは言ったけど、数学じゃないと解けないものもあると思う。
ax2+bx+c=0 って具体的な数字から離れた世界にあるよねって。
まさに解の公式は数学の成果だなと思っている。
他にも円の面積の公式とか。あれも数学の成果ですよね。
ただ、なんかよくわからないその結果を使えば二次方程式の解が求まるってのは算数だと思う。
さっき微分は数学だとか言ったけど、微分公式使ってカリカリ置き換えるだけじゃそれは算数とは変わらないのかも知れない。
微分公式ってのは数学の成果だけど、
ベクトルとか行列の計算というのは実に算数らしいところだなと思っている。
まず小学校で数の足し算・引き算・かけ算を学んだが、ベクトルでも行列でもこういうところから始まりましたよね。
そのときかけ算ってなにさってことも勉強している。
ベクトルと行列でもやってますよね。例えばベクトルと行列のかけ算は一次変換ですよとかなんとか。
そしてそれを利用して連立方程式を解いてみたりなんとかんとか。
こういうことというのは高専の学生だったり大学生だったりがやってることだけど算数だよねって。
ずっと具体的な数字とにらめっこしてるから。
高専から大学への三年次編入の数学の試験問題を解く会みたいなのがありまして問題とにらめっこしているわけですが、
その問題というのは、行列と確率と関数っていう三本立てでなっているなぁという印象があります。
関数の問題ってのはいかにも数学らしい問題ですわ。爽快ですね。
確率の問題は物事を整理してやるわけで、まぁ数学というより文章とにらめっこしている気もしないことはない。
そして行列の問題ですが、これめんどくさいですよね。
その問題では、逆行列を求めるとか行列の固有値を求めるとか、算数とも言える問題も多いわけです。
そういう問題って疲れるのよ。
これを数学の教員に言わせれば「行列の問題が無かったら答えは簡潔なものになってしまうものだから、こんなけ書けば合格なのかとなってしまう。そこで行列の問題を入れて記述量を増やして、これだけ書いて合格になりましたとすれば収まりも良いからだ。」という。
なんという解釈だ。
ここからは余談。
Twitterで試験の過去問をやってるひとが固有値問題のことをいろいろ言っていて、一体何の試験なのかと思ったら、大学の入学試験でした。
もちろん学部の一年次のですよ。この時期にやるのはそれぐらいですよね。
けど、高校の数学では行列って出てきたっけと思って学習指導要領を読めば、数学Cで取り扱うとあるがちょっとだけだった。
かけ算については平面上の一次変換に関わる分にとどめるとかあるから、かけ算は2×2行列ぐらいしか取り扱わないのだろう。
しかも数学Cっていうのは4分野から適宜選択する科目なので、行列を行わない数学Cの履修者もあるはず。
だから問題を出すならば、「数字をこのように並べたものを行列と言い、積は以下のように定義される。」とかいろいろ説明がいるように見える。
そこまでして初めて高校生に対する問題としての意義が出てくるんじゃないかなとふと思った。
実際どうなんでしょうね。さすがに「この行列の固有値と固有ベクトルを求めろ」とだけ書いてあることはないと思うけど。
Author : hidemaro
Date : 2010/02/06(Sat) 23:56
電気・数学・物理 | comments (0) | trackback (0)